検索ボタンを押した後、画面遷移させずにDBから検索させて結果を表示させる。
表示させる部分はDOM操作でOK。表示させるデータはJSONでやり取りする…のかな?
検索機能の本体はSQLで処理するだけだし、PHPでやるんだろう。
だとすると、function.php内に実装して、それを呼び出すという形になるのだろうか。
初期表示では無いので、ショートコードでは無い。
結論から言うと、あらかじめ用意されているWordPress用の関数を使ってやり取りするらしい。表示時に呼び出すもの、随時呼び出すものとあるが、それらはfunction.php内に宣言しておき、必要なフック、ハンドラに渡すような感じらしい。
とりあえず、習うより慣れろ。
まずボタン押下でAjaxでDOM変更する一連の流れを書いてみよう。

